Означення, теореми, аксіоми

Дати означення чому-небудь — значить пояснити, що це таке.

При визначенні будь-якого поняття вживаються інші

поняття, що мають бути уже відомі. Однак не можна

дати означення всіх понять, тому деякі з них приймають без визначень

і називають їх невизначуваними. До таких понять належать, наприклад,

точка і пряма.

Доведенням називається міркування, за допомогою якого встановлюєть-

ся правильність твердження про властивість геометричної фігури.

Доведемо першу теорему. Якби дві різні прямі мали дві точки перетину,

то виходило б, що через ці точки проходять дві різні прямі. А це неможли-

во, тому що відповідно до другої частини основної властивості належності

точок і прямих на площині через дві точки проходить тільки одна пряма.

Ця теорема доводиться методом доведення від протилежного. Цей метод

полягає в тому, що спочатку робиться припущення, протилежне тому, що

стверджується теоремою. Потім шляхом міркувань, спираючись на аксіо-

ми, а нерідко на доведені раніше теореми, доходять висновку, що супере-

чить або умові теореми, або одній з аксіом, або відомій раніше теоремі. На

цій підставі роблять висновок, що припущення була невірним, а виходить,

вірне твердження теореми.

Теоремою називається твердження, що виражає властивість геометрич-

ної фігури, істинність якого доводиться.

Формулювання теореми звичайно складається з двох частин. В од-

ній частині говориться про те, що дано. Ця частина називається умовою.

У другій частині говориться про те, що потрібно довести. Ця частина на-

зивається висновком теореми.

Якщо розглянути формулювання нашої першої теореми, то можна зро-

бити висновок: її умовою є те, що дано дві прямі, а висновком те, що вони

можуть або не перетинатися, або перетинатися тільки в одній точці.

Аксіомою називається твердження, що виражає властивості геометрич-

них фігур, прийняті без доведення.

Легко помітити, що формулювання аксіом довести не можна, тому ми

приймаємо їх на віру.

Точка

Розділ геометрії, який вивчає фігури на площині, називаєтьсяпланіметрією.

Основні геометричні фігури планіметрії - це точка і пряма. Усі геометричні фігури складаються з точок.

Точки позначаються великими латинськими буквами, а прямі позначаються маленькими латинськими буквами.

Історія геометрії

За переказами, біля входу до Академії Платона було написано "Та не ввійде сюди ніхто з тих, хто не знає геометрії”. З найдавніших часів геометрія вважалася однією з важливих компонент будь-якої освіти взагалі. Насамперед що таке геометрія? Кожний з дитинства звикає до цього слова і твердо вірить, що він чудово розуміє його зміст. Проте, як він не намагався б дати означення гаометрії, завжди знайдеться немало людей, які скажуть: "Ні, це не те”. То що ж таке геометрія? Геометрія настільки вже набула характеру первинно поняття, що легше що-небудь інше означити за допомогою геометрії, ніж геометрію за допомогою чогось іншого. Геометрію легше описати, ніж дати їй означення. Інакше кажучи, доцільно дати уявлення про геометрію аксіоматично, як ми даємо уявлення про точку, пряму, площину.
Геометрія - це загальна наука про просторові форми. З просторовими формами людина зустрічалася насамперед при вимірюванні ділянок землі. Геометрія - грецьке слово. Воно означає "землемірство”. З іншими просторовими людина зустрілася при спорудженні будинків, виготовленні посуду…
Греки називали староєгипетських геометрів, в яких вони навчалися геометрії – "натягувачами вірьовки”.
Геометрія зародилася в Ойкумені (басейн середземного моря). Батьківщиною геометрії є стародавній Єгипет.
Геометрія зароджувалась скрізь, де жили люди. В Єгипті вона раніше, ніж в інших місцях набрала більш, або менш певних форм, – от і все.
Картину зародження геометрії в канонічно спрощеній формі звичайно описують так. Щороку на початку літа головна ріка Єгипту Ніл щороку розливається, затоплюючи водою всі або майже всі культурні землі. Через деякий час вода спадає, залишаючи товстий шар плодючого мулу. З’явилася особлива категорія людей, обов’язком яких було розмежувати землі на окремі ділянки. Ця робота виконувалася у продовж багатоьх сотень років; у процесі цієї роботи набувались початкові знання про властивості геометричних фігур, вводились нові поняття про ці фігури. Добуті знання передавались наступним поколінням, які додавали до них щось своє, і т. д. Геометрії в тому розумінні, що ми уявляємо її тепер, у єгиптян не було. Не було символіки, не було аксіоматики, не було доведень.
В стародавній Греції, починаючи з 7 ст. до н.е. З часів Фалеса Мілетського починається новий етап розвитку геомеирії. Вона набуває характерного для неї абстрастного напряму; у ній виникає доведення.
А якби спитати будь-якого з істориків математики, кого з старогрецьких математиків він вважає найвидатнішим, причому дозволяється називати не більше трьох імен, то, мабуть, у більшості випадків відповідь була б така: Евклід, Архімед, Аполлоній. Це справді три кити стародавньої математики, і ніяка, навіть найкоротша, довідка про стародавній світ і його науку неможлива без згадування цих трьох імен.
Евклід – є фокусом, в якому сконцентрувалася уся сучасна математика.
Архімед – геніальний механік і геометр, творець нескінченно малих велечин(числення)
Минали роки… геометрія збагачувалася новими фактами, змінювала свій вигляд. Були часи, коли вона, як при Платоні або Піфагорі, займала становище справжньої цариці наук, а були й періоди, коли вона в своєму розвитку починала відставати від інших, молодих, що бурхливо розвивалися, наук. Але ніколи, очевидно, поки стоїть світ, не настане такий час, коли б людство могло сказати: ось тепер геометрія не потрібна і залишається здати її в архів.