Означення, теореми, аксіоми

Дати означення чому-небудь — значить пояснити, що це таке.

При визначенні будь-якого поняття вживаються інші

поняття, що мають бути уже відомі. Однак не можна

дати означення всіх понять, тому деякі з них приймають без визначень

і називають їх невизначуваними. До таких понять належать, наприклад,

точка і пряма.

Доведенням називається міркування, за допомогою якого встановлюєть-

ся правильність твердження про властивість геометричної фігури.

Доведемо першу теорему. Якби дві різні прямі мали дві точки перетину,

то виходило б, що через ці точки проходять дві різні прямі. А це неможли-

во, тому що відповідно до другої частини основної властивості належності

точок і прямих на площині через дві точки проходить тільки одна пряма.

Ця теорема доводиться методом доведення від протилежного. Цей метод

полягає в тому, що спочатку робиться припущення, протилежне тому, що

стверджується теоремою. Потім шляхом міркувань, спираючись на аксіо-

ми, а нерідко на доведені раніше теореми, доходять висновку, що супере-

чить або умові теореми, або одній з аксіом, або відомій раніше теоремі. На

цій підставі роблять висновок, що припущення була невірним, а виходить,

вірне твердження теореми.

Теоремою називається твердження, що виражає властивість геометрич-

ної фігури, істинність якого доводиться.

Формулювання теореми звичайно складається з двох частин. В од-

ній частині говориться про те, що дано. Ця частина називається умовою.

У другій частині говориться про те, що потрібно довести. Ця частина на-

зивається висновком теореми.

Якщо розглянути формулювання нашої першої теореми, то можна зро-

бити висновок: її умовою є те, що дано дві прямі, а висновком те, що вони

можуть або не перетинатися, або перетинатися тільки в одній точці.

Аксіомою називається твердження, що виражає властивості геометрич-

них фігур, прийняті без доведення.

Легко помітити, що формулювання аксіом довести не можна, тому ми

приймаємо їх на віру.